XLRisk یک افزونه اکسل شبیه سازی مونت کارلو است. با اکسل برای ویندوز و مک سازگار است.

شبیه سازی مونت کارلو چیست؟

به صورت کلی، متد مونت کارلو (یا شبیه سازی مونت کارلو) به هر تکنیکی اتلاق می شود که از طریق نمونه سازی آماری، پاسخ های تقریبی برای مسائل کمّی فراهم می کند. شبیه سازی مونت کارلو بیشتر برای توصیف روشی جهت انتشار عدم قطعیت های موجود در ورودی مدل به عدم قطعیت ها در خروجی مدل، به کار می رود.

بنابراین مونت کارلو، نوعی شبیه سازی است که به طور صریح و کمی، عدم قطعیت را نمایش می دهد. شبیه سازی مونت کارلو متکی به فرآیند نمایش صریح عدم قطعیت با تعیین ورودی ها به عنوان توزیع های احتمال است. اگر ورودی های توصیف کننده یک سیستم، غیرقطعی باشند، آنگاه پیش بینی عملکرد پیش رو به طور قطع غیرقطعی است. این بدان معنی است که نتیجه هر گونه تحلیل مبتنی بر ورودی های نمایش داده شده با توزیع های احتمال، خود یک توزیع احتمال است.

توجه: اکسل 2013 یا جدیدتر مورد نیاز است. اکسل 16 یا جدیدتر توصیه می شود.

همراه با فایل راهنما به زبان انگلیسی و فارسی.

اکسل شبیه سازی مونت کارلو راهنما

ویژگی افزونه اکسل XLRisk

• قابل استفاده با اکسل برای ویندوز و اکسل برای مک
• بسیار آسان برای استفاده
• آمار شبیه سازی گسترده و خروجی گرافیکی
• روش نمونه برداری لاتین Hypercube را برای همگرایی سریعتر و نتایج دقیق تر پیاده سازی  می کند
• روش Iman-Conover را برای تولید نمونه ها از توزیع های همبسته پیاده سازی  می کند

دستورالعمل ها و مستندات نصب

• دانلود و نصب کنید
• تب XLRisk Ribbon
• گفتگوی XLRisk Options
• دستورالعمل استفاده
• توابع ریسک/توزیع
• مثال کار
• نتایج شبیه سازی
• مثال ورودی های همبسته

نحوه نصب افزونه اکسل XLRisk

فایل افزونه اکسل XLRisk ( اکسل شبیه سازی مونت کارلو ) را از طریق دکمه افزودن به سبد خرید و ادامه فرآیند پرداخت، دانلود کنید.

کاربران ویندوز

• ‌أ. در صورت نیاز، پس از دانلود افزونه، آن را رفع انسداد کنید. (روی فایل در File Explorer کلیک راست کنید، Properties را انتخاب کنید، در کادر محاوره ای Unblock را علامت بزنید و OK را فشار دهید.)
• ‌ب. در یک دستگاه ویندوز، مکان توصیه شده C:usersusernameAppDataRoamingMicrosoftAddIns است. برای دیدن این پوشه باید نمایش پوشه های مخفی در Windows Explorer را فعال کنید. این کار با علامت زدن گزینه “موارد پنهان” در منوی View انجام می شود.
• ‌ج. اکسل را باز کنید.
• ‌د. دایرکتوری حاوی XLRisk.xlam را به لیست مکان های مورد اعتماد در اکسل اضافه کنید. این کار با انتخاب File، Options، Trust Center، Trust Center Settings انجام می شود… (دکمه سمت راست)، مکان های مورد اعتماد، افزودن مکان جدید (دکمه در پایین).
• ‌ه. File, Options, Addins را انتخاب کنید و در پایین کادر محاوره ای “Go…” برای مدیریت افزونه های اکسل استفاده کنید.
• ‌و. اگر XLRisk را در لیست کادر محاوره ای افزونه ها نمی بینید، دکمه “مرور” را فشار دهید و افزونه دانلود شده را انتخاب کنید. اگر از شما پرسیده شد که آیا افزونه را در مکان پیش فرض ذخیره کنید یا خیر، پاسخ مثبت دهید. در غیر این صورت فقط کادر انتخاب افزونه XLRisk را علامت بزنید و OK را فشار دهید.
• ‌ز. هنگامی که XLRisk ( اکسل شبیه سازی مونت کارلو ) نصب و بارگذاری شد، باید بتوانید یک [تب جدید] (Ribbon_Tab) را در نوار اکسل به نام “XLRisk” مشاهده کنید.

کاربران مک

پس از دانلود XLRisk (یک فایل با نام “XLRisk.xlam”):

• ‌أ. اکسل را باز کنید.
• ‌ب. از منوی اکسل ابزارها، افزونه های اکسل را انجام دهید.
• ‌ج. “مرور” را فشار دهید و فایل دانلود شده را انتخاب کنید.
• ‌د. هنگامی که XLRisk نصب و بارگذاری شد، باید بتوانید یک [تب جدید] (Ribbon_Tab) را در نوار اکسل به نام “XLRisk” مشاهده کنید.

اکسل شبیه سازی مونت کارلو

بارگیری افزونه XLRisk

می توانید از کادر محاوره ای افزونه های اکسل برای بارگیری و تخلیه افزونه XLRisk ( اکسل شبیه سازی مونت کارلو ) استفاده کنید.

تب روبان XLRisk

توضیحات کنترل ها

• دکمه راه اندازی: نشان می دهدگفتگوی گزینه های XLRisk.
• دکمه تعویض نمایش نمونه: هنگامی که بررسی می شود، توابع ریسک در صفحه نمایش نمونه های تصادفی از توزیع های مربوطه را نشان می دهند. هنگامی که تیک نخورده باشد، توابع ریسک میانگین توزیع را نشان می دهند.
• دکمه افزودن خروجی: سلول یا محدوده سلول های انتخاب شده را به لیست خروجی های شبیه سازی اضافه کنید.
• جعبه ترکیبی Iterations: به شما امکان می دهد تعداد تکرارها را از لیست کشویی یا با تایپ یک عدد مشخص کنید.
• دکمه Run: شبیه سازی را با تنظیمات مشخص شده اجرا می کند. برای اجرای یک شبیه سازی، باید حداقل یک تابع ریسک در صفحه گسترده خود داشته باشید و حداقل یک خروجی را تعریف کنید.
• دکمه توقف: این دکمه در طول شبیه سازی فعال است و به شما امکان می دهد یک شبیه سازی را قطع کنید.
• دکمه راهنما: صفحه راهنما را باز می کند.
• دکمه درباره: یک کادر محاوره ای با اطلاعات مربوط به XLRisk نشان می دهد.

اکسل شبیه سازی مونت کارلو فرم

گزینه های XLRisk

شرح گزینه ها

• دانه: اگر متفاوت از صفر باشد، تولید اعداد تصادفی با بذر مشخص شده مقداردهی اولیه می شود. این منجر به شبیه سازی های مختلف یک مدل برای تولید نتایج یکسان خواهد شد. برای ایجاد نتایج قابل تکرار مفید است. اگر صفر باشد، تولید اعداد تصادفی با یک بذر کامپیوتری که به طور تصادفی انتخاب شده است، مقداردهی اولیه می شود و هر شبیه سازی نتایج کمی متفاوت خواهد داشت.
• جعبه ترکیبی Iterations: به شما امکان می دهد تعداد تکرارها را از لیست کشویی یا با تایپ یک عدد مشخص کنید.
• کادر انتخاب “به روز رسانی صفحه در حین شبیه سازی”: اگر علامت زده باشد، می توانید به روز رسانی کتاب کار را در طول شبیه سازی مشاهده کنید، اما این ممکن است سرعت اجرا را کاهش دهد.
• “محاسبه جداول داده ها در حین شبیه سازی”. به روز رسانی جداول داده ها در محاسبه اکسل یک تاکسک وقت گیر است و می تواند شبیه سازی ها را به طرز چشمگیری کاهش دهد. اگر خروجی های شبیه سازی شما به نتایج جدول داده بستگی ندارد، می توانید انتخاب کنید که جداول داده را برای کاهش زمان شبیه سازی به روز نکنید. جداول داده به طور پیش فرض به روز می شوند.
• “از روش لاتین Hypercube استفاده کنید”. در صورت استفاده از روش لاتین Hypercube برای تولید نمونه ها از توزیع ریسک استفاده خواهد شد. روش لاتین Hypercube نتایج دقیق تری را برای همان تعداد تکرارها به دست می آورد. به طور پیش فرض روشن است و دلیلی برای تغییر آن وجود ندارد.
• چک باکس “نمایش نمونه های تصادفی از توزیع ها”: هنگامی که علامت زده می شود، توابع ریسک در صفحه نمایش نمونه های تصادفی از توزیع های مربوطه را نشان می دهند. هنگامی که تیک نخورده باشد، توابع ریسک میانگین توزیع را نشان می دهند.
• “اجرای ماکرو قبل از هر تکرار”: می توانید نام ماکرو موجود در ورک بوک خود را مشخص کنید که قبل از محاسبه اکسل هر تکرار اجرا می شود.
• “اجرای ماکرو پس از هر تکرار”: می توانید نام ماکرو موجود در کتاب کار خود را مشخص کنید که پس از محاسبه اکسل هر تکرار اجرا می شود. به عنوان مثال، یک ماکرو می تواند برای Goal Seek یا اجرای Excel Solver، بر اساس مقادیر فعلی ورودی های ریسک، استفاده شود.

پس از استفاده از پنجره گزینه های XLRisk ( اکسل شبیه سازی مونت کارلو ) و فشار دادن OK، اگر قبلا وجود نداشته باشد، یک برگه جدید در کتاب کار فعال به نام “XLRisk” ایجاد می شود. این برگه شامل تنظیمات مختلف XLRisk و ورودی ها و خروجی های شبیه سازی است. شما به طور رسمی نیازی به تغییر این برگه ندارید، مگر اگر بخواهید محدوده های خروجی مشخص شده را پاک کنید.

با کلیک بر روی دکمه راهنما این صفحه در مرورگر پیش فرض شما نمایش داده می شود.

دستورالعمل های استفاده

ابتدا باید  افزونه XLRisk را نصب و بارگذاری کنید و یک مدل اکسل بسازید که می خواهید با استفاده از شبیه سازی مونت کارلو شبیه سازی کنید.

مراحل اجرای شبیه سازی مونت کارلو

• عدم قطعیت را در مدل خود با جایگزینی پارامترهای نامشخص با توابع ریسک/توزیع مانند RiskUniform ،RiskNormal و غیره مشخص کنید.
• از متدگفتگوی گزینه هابا استفاده از دکمه “Setup”تب XLRisk Ribbonبرای مقداردهی اولیه XLRisk در کتاب کار فعال.
• تعداد تکرارها را در گفتگوی گزینه ها یا با استفاده از کادر ترکیبی تکرارها در تب XLRisk Ribbon تنظیم کنید.
• خروجی های شبیه سازی را با انتخاب سلول های حاوی نتایج مدل و فشار دادن دکمه “Add Output” در تب XLRisk Ribbon مشخص کنید.
• دکمه Run را در تب XLRisk Ribbon فشار دهید تا شبیه سازی اجرا شود. در حالی که شبیه سازی در حال اجرا است، می توانید پیشرفت را در نوار وضعیت مشاهده کنید. همچنین می توانید با فشار دادن دکمه توقف در تب XLRisk Ribbon شبیه سازی مونت کارلو را قطع کرده و خاتمه دهید.

پس از اتمام شبیه سازی، یک برگه جدید “نتایج ریسک” ایجاد می شود که حاوی نتایج شبیه سازی است.

توابع توزیع XLRisk

برای توصیف عدم قطعیت در مدل خود می توانید از توابع توزیع ارائه شده توسط XLRisk (که به آن توابع ریسک نیز گفته می شود) استفاده کنید. لیست این عملکردها در حال حاضر کوتاه است، اما در آینده نزدیک گسترش خواهد یافت.

بسته به تنظیمات “نمایش نمونه ها”  این توابع، هنگامی که در صفحه گسترده وارد می شوند، نمونه ای از توزیع یا مقدار متوسط آن را برمی گردانند (نمایش). می توانید این توابع را با استفاده از کادر محاوره ای “Insert function” اکسل وارد کنید.

لیست توابع توزیع

• RiskBernoulli(P): نمونه هایی را از توزیع برنولی با احتمال موفقیت داده شده تولید می کند.
• RiskBeta (آلفا، بتا، A، B): نمونه هایی از توزیع بتا، با پارامترهای شکل داده شده آلفا و بتا تولید می کند. به صورت اختیاری A و B را به عنوان حداقل و حداکثر ارائه دهید. پارامترها مانند بتا داخلی هستند. عملکرد INV.
• RiskBinomial(N, P): نمونه هایی را از یک توزیع دوجمله ای تولید می کند, با تعداد داده شده از آزمایش ها و احتمال موفقیت.
• RiskCumul (minvalue, maxvalue, XValues, YValues): نمونه هایی را از یک توزیع تجمعی تولید می کند که با حداقل ، حداکثر مقادیر و دو آرایه حاوی مختصات X و Y نقاط باقی مانده مشخص شده است. مختصات Y احتمالات تجمعی هستند. XValues و YValues باید به شدت در حال افزایش باشند. XValues باید بین مقادیر حداقل و حداکثر باشد.
• RiskDiscrete (مقادیر ، احتمالات): نمونه هایی را از یک توزیع یکنواخت گسسته تولید می کند. آرگومان ها مقادیر و احتمالات می توانند محدوده یا آرایه باشند. مقادیر باید به ترتیب صعودی باشند و احتمالات باید حاوی احتمالات مربوطه باشند.
• RiskDUniform(Values): نمونه هایی را از یک توزیع یکنواخت گسسته تولید می کند. آرگومان مقادیر می تواند یک محدوده یا آرایه ای از مقادیر باشد. هر یک از مقادیر شانس یکسانی برای نمونه برداری دارند.
• RiskErlang (آلفا، بتا): نمونه هایی را از یک توزیع Erlang، با پارامترهای شکل صحیح (آلفا) و مقیاس (بتا) داده شده تولید می کند.
• RiskExponential(میانگین): نمونه هایی را از یک توزیع نمایی، با میانگین داده شده تولید می کند.
• RiskGamma (آلفا، بتا): نمونه هایی را از یک توزیع گاما، با پارامترهای شکل (آلفا) و مقیاس (بتا) داده شده تولید می کند.
• RiskLogNorm(meand, stdev): نمونه هایی را از یک توزیع لگاریتم نرمال، با meand داده شده و انحراف معیار تولید می کند.
• RiskNormal (mean, stdev): نمونه هایی را از یک توزیع نرمال، با میانگین و انحراف معیار داده شده تولید می کند.
• RiskPert (حداقل، به احتمال زیاد، حداکثر): نمونه هایی را از یک توزیع PERT، با حداقل محتمل ترین و حداکثر مقدار داده شده تولید می کند. توزیع PERT یک مورد خاص از توزیع بتا است و می تواند به عنوان یک نسخه روان تر از توزیع مثلثی استفاده شود.
• RiskTriang (حداقل، به احتمال زیاد، حداکثر): نمونه هایی را از یک توزیع مثلثی با حداقل محتمل ترین و حداکثر مقدار داده شده تولید می کند.
• RiskUniform (min, max): نمونه هایی را از یک توزیع unifor بین حداقل و حداکثر تولید می کند.
• RiskWeibull (آلفا، بتا): نمونه هایی از توزیع وایبول را با پارامترهای شکل (آلفا) و مقیاس (بتا) داده شده تولید می کند.

توابع دیگر

• RiskCorrmat(CorrmatRng, Index): هنگامی که به عنوان آخرین آرگومان اختیاری به یک تابع ریسک اضافه می شود، پیوندی به یک ماتریس همبستگی ایجاد می کند. نحوه استفاده از آن را در مثال ورودی های همبسته ببینید.
• RiskCorrectCorrmat(CorrmatRng): ماتریس همبستگی را که قطعی نیمه مثبت نیست برطرف می کند و یک ماتریس همبستگی معتبر برمی گرداند.
• RiskIsValidCorrmat(CorrmatRng): بررسی می کند که آیا ماتریس همبستگی از جمله تست قطعیت نیمه مثبت معتبر است یا خیر. یک مقدار بولی را برمی گرداند.
• RiskSCorrel(Array1, Array2): همبستگی رتبه Spearman را از دو آرایه برمی گرداند.

مثال کار

نوا – مدل جریان نقدی

xlsx شامل یک مدل جریان نقدی برای یک محصول جدید است که در زیر نشان داده شده است. اگر می خواهید مراحل این مثال کار شده را تکرار کنید، می توانید این فایل را دانلود کنید.

این مدل NPV و IRR توسعه این محصول جدید را بر اساس مفروضات خاصی محاسبه می کند.

مرحله 1: معرفی عدم قطعیت

استفاده از توزیع های احتمالاتی برای تعیین عدم قطعیت پارامترهای مدل، دشوارترین مرحله در انجام شبیه سازی مونت کارلو است. این فقط یک مثال است، بنابراین ما همه چیز را ساده نگه می داریم. ما از تابع توزیع RiskUniform برای توصیف عدم قطعیت در مورد “افزایش سهم بازار” و از تابع RiskTriang برای توصیف عدم اطمینان در مورد رشد بازار استفاده خواهیم کرد.

در سلول B17 فرمول را وارد کنید:

= RiskUniform (-0.2٪، 0.8٪)

و در سلول B18 فرمول:

=RiskTriang(0.9،1.02،1.08)

در ابتدا سلول های دارای فرمول توزیع میانگین توزیع خود را نشان می دهند. باسن “نمایش نمونه” را در دکمه تب XLRisk Ribbon به جای آن نمونه هایی از توزیع ها را نشان دهید. سپس چند بار F9 (محاسبه کنید) را فشار دهید و مقادیر موجود در سلول های توزیع و همچنین تغییر نتایج مدل را مشاهده کنید. این به شما کمک می کند آنچه را که در طول شبیه سازی اتفاق می افتد تجسم کنید.

مرحله 2: تعداد تکرارها را مشخص کنید

تعداد تکرارها در شبیه سازی مونت کارلو یک مبادله بین دقت نتایج و زمان اجرا است. با این حال، XLRisk بسیار سریع است و می توانید تعداد زیادی از تکرارها را به سرعت اجرا کنید. برای این مثال، در جعبه ترکیبی Iterations در تب XLRisk Ribbon “5000” تایپ کنید و Enter را فشار دهید. اگر برگه XLRisk وجود نداشته باشد، در این مرحله برای شما ایجاد می شود تا گزینه های شبیه سازی از جمله تعداد تکرارها را ذخیره کنید.

مرحله 3: خروجی های مدل را مشخص کنید

خروجی های شبیه سازی را با انتخاب سلول های حاوی نتایج مدل و فشار دادن دکمه “Add Output” در تب XLRisk Ribbon مشخص کنید. در این مدل سلول F13 را انتخاب کرده و دکمه “Add Output” Ribbon را فشار دهید. وقتی از او نام خواسته شد، “NPV” را تایپ کنید. همین کار را برای F14 انجام دهید، این بار نام سلول را “IRR” بگذارید.

شبیه سازی مونت کارلو, تحلیل ریسک, توزیع احتمالات, نمونه گیری تصادفی, مدلسازی احتمالی, پیش بینی مالی, آنالیز حساسیت, توزیع نرمال, توزیع یکنواخت, توزیع مثلثی, توزیع پواسون, ارزش در معرض خطر, سناریو سازی, شبیه سازی مالی, مدیریت ریسک, شبیه سازی کسب و کار

مرحله 4: شبیه سازی را اجرا کنید

دکمه Run را در تب XLRisk Ribbon فشار دهید تا شبیه سازی اجرا شود. در حالی که شبیه سازی در حال اجرا است، می توانید پیشرفت را در نوار وضعیت مشاهده کنید. همچنین می توانید با فشار دادن دکمه توقف در تب XLRisk Ribbon شبیه سازی را قطع کرده و خاتمه دهید. پس از اتمام شبیه سازی، یک برگه جدید “نتایج ریسک 1” ایجاد می شود که حاوی نتایج شبیه سازی است.

نتایج شبیه سازی به طور جداگانه مورد بحث قرار گرفته است.

نتایج شبیه سازی XLRisk ( شبیه سازی مونت کارلو ) 

نتایج شبیه سازی XLRisk در اینجا در زمینه مثال کار شده مورد بحث قرار گرفته است. برگه نتایج شبیه سازی با نام “نتایج ریسک 1” شامل موارد زیر است:

• 1. مقادیر نمونه برداری از سلول های ورودی
• 2. مقادیر محاسبه شده سلول های خروجی
• 3. آمار شبیه سازی
• 4. صدک ها
• 5. رتبه درصد
• 6. همبستگی ها
• 7. خروجی گرافیکی – توزیع های تجمعی
• 8. خروجی گرافیکی – توزیع ها
• 9. خروجی گرافیکی – نمودار گردباد

1. مقادیر نمونه برداری از سلول های ورودی

سلول های ورودی سلول هایی هستند که دارای توابع توزیع ریسک هستند. اولین ستون های برگه نتایج تحت عنوان “ورودی ها” حاوی مقادیر نمونه برداری شده از سلول ورودی برای هر تکرار است. آدرس یا نام سلول، اگر سلول های حاوی توزیع ورودی نامگذاری شوند، همانطور که در اینجا اتفاق می افتد، و فرمول هر سلول ورودی در بالای هر ستون نمایش داده می شود.

2. مقادیر محاسبه شده سلول های خروجی

مقدار هر سلول خروجی در هر تکرار ذخیره می شود. ستون های زیر عنوان “خروجی ها” حاوی مقادیر محاسبه شده سلول های خروجی برای هر تکرار هستند. آدرس سلول و نام خروجی در بالای هر ستون نمایش داده می شود.

3. آمار شبیه سازی

برای هر سلول خروجی، طیف وسیعی از آمار از جمله میانگین، انحراف معیار و غیره نمایش داده می شود.

4. صدک ها

علاوه بر این، صدک های توزیع سلول های خروجی از 0٪ تا 100٪ با 5٪ نمایش داده می شود.

5. رتبه درصد

PERCENTRANK یک تابع اکسل است که نسبت مقادیر یک محدوده مشخص را در زیر یک محدوده معین محاسبه می کند. در بخش “رتبه درصد” خروجی شبیه سازی می توانید چنین محاسباتی را برای توزیع های خروجی انجام دهید. به عنوان مثال، ممکن است بخواهید نسبت تکرارهایی را که منجر به NPV منفی شده اند، بدانید. اگر مقدار 0 را در زیر NPV وارد کنید، در ردیف “٪ rank” مقداری نزدیک به 15.7٪ خواهید دید که تخمینی از احتمال NPV منفی است.

6. همبستگی ها

جدول همبستگی ها برای هر سلول خروجی همبستگی نتایج شبیه سازی را با نمونه های توزیع ورودی نشان می دهد. این به ارزیابی تأثیر نسبی توزیع ورودی بر این خروجی خاص کمک می کند. همبستگی مثبت نشان دهنده تأثیر مثبت و همبستگی منفی تأثیر منفی است. هرچه مقدار مطلق همبستگی (0 به 1) بزرگتر باشد، بیشترین تأثیر را دارد.

7. خروجی گرافیکی – توزیع های تجمعی

برای هر سلول خروجی یک توزیع تجمعی به عنوان توزیع زیر برای NPV ایجاد می شود.

8. خروجی گرافیکی – توزیع ها

علاوه بر این و اگر اکسل 16 یا بالاتر دارید، برای هر سلول خروجی یک هیستوگرام به عنوان تصویر زیر برای NPV ایجاد می شود. ممکن است بخواهید فرمت اعداد محور X (سطل ها) را به صورت دستی تنظیم کنید.

9. خروجی گرافیکی – نمودار گردباد

نمودار گردباد همبستگی بین نتایج یک متغیر خروجی و مقادیر نمونه برداری توزیع های ورودی را نشان می دهد (به بخش همبستگی مراجعه کنید) که بر اساس تأثیر مرتب شده اند، یعنی مقدار مطلق همبستگی. بنابراین مهم ترین محرک های ریسک در بالای این نمودار ظاهر می شوند. می توانید انتخاب کنید که کدام یک از متغیرهای خروجی را از یک لیست کشویی در بالای نمودار نمایش دهید.

مثال با ورودی های همبسته

Example.xlsx Correl نشان می دهد که چگونه ورودی های ریسک را با استفاده از  تابع RiskCorrmat مرتبط می کنید  . همانطور که در تصویر زیر مشاهده می کنید، این مدل شامل سه مجموعه محاسبات است. در هر سه مورد، نتیجه مجموع توزیع های یکسان RiskNormal و RiskUniform است  .

در حالت اول این دو توزیع با همبستگی 9/0 همبستگی مثبت دارند. در حالت دوم این دو توزیع با همبستگی 9/0- همبستگی منفی دارند. و در حالت سوم این دو توزیع با هم همبستگی ندارند.

اگر سلول های B4، B8 و B12 را به عنوان خروجی اضافه کنید و 10000 تکرار را اجرا کنید، نتایجی مشابه نتایج زیر دریافت خواهید کرد:

همانطور که می بینید، همبستگی مثبت انحراف معیار و واریانس را افزایش می دهد در حالی که همبستگی منفی اثر معکوس دارد. این اثر با مشاهده توزیع سلول های خروجی زیر نیز نشان داده می شود.